Regularización de ecuaciones integrales no lineales en un parámetro. Aplicación a la determinación de la distribución de tamaños y del índice de refracción de látex por dispersión de luz.

Abstract

La regularización de un problema inverso mal condicionado es la aproximación del problema dado por uno aproximado pero estable. La solución de este problema tiene características que han sido establecidas rigurosamente para los problemas lineales. Resolver un problema inverso lineal requiere, generalmente, la selección de un parámetro de regularización y el cálculo de la función incógnita que optimiza un problema de mínimos cuadrados. Los problemas no-lineales se estudian en forma particular. Las ecuaciones integrales de Fredholm de primer tipo con un parámetro desconocido en el núcleo de la ecuación constituyen un problema inverso no-lineal específico. No es factible anticipar la existencia, unicidad y estabilidad de la solución sin realizar el análisis correspondiente. Los resultados de esta tesis muestran que, imponiendo ciertas condiciones en el núcleo de la integral, es posible afirmar que la solución es única, y que el parámetro desconocido dentro del núcleo no agrega inestabilidades a la solución. Se muestra también la factibilidad de obtener la solución del problema, lo que implica estimar el parámetro desconocido en el núcleo y la función incógnita, y seleccionar el valor del parámetro de regularización, por medio de un procedimiento iterativo en el que se resuelve secuencialmente un problema lineal, utilizando el método de Phillips-Tikhonov y la técnica estadística de Validación Cruzada, y uno no-lineal. Las conclusiones obtenidas pueden aplicarse a una variedad de problemas ingenieriles. El abarcado en este trabajo de investigación es el problema de caracterizar materiales del tipo de un látex de polímero mediante una técnica no-destructiva, la medición de la intensidad de luz dispersada por el mismo a distintos ángulos. El modelo matemático que representa esta medición toma la forma de una integral donde el índice de refracción de las partículas en suspensión es el parámetro que aparece en el núcleo de la misma, y la distribución de los tamaños de las partículas es la función desconocida, la que se relaciona linealmente con la medición. La identificación del índice de refracción y de la distribución de tamaños es fundamental para caracterizar el material. El análisis inverso propuesto se aplicó en mediciones simuladas de dispersión de luz estática para distintos látex. Se analizó primeramente la efectividad de los distintos métodos de regularización existentes para el problema lineal de determinar la distribución suponiendo conocido el índice de refracción. Los resultados obtenidos se tilizaron para mejorar la solución del problema completo. La identificación de las características del material es perfecta bajo la hipótesis de mediciones ideales. El ruido de medición perturba los resultados a valores levemente diferentes de los verdaderos en la mayoría de las situaciones consideradas. Las mediciones experimentales de dos patrones de látex muestran que los procedimientos propuestos pueden aplicarse en situaciones reales.